Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình

     

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình bất phương trình là trong số những dạng toán về hàm số thường hay xuất hiện thêm trong đề thi tốt nghiệp 12 xuất xắc kỳ thi thpt quốc gia.

Bạn đang xem: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình


Vậy vận dụng hàm số giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT) bằng cách sử dụng tính solo điệu của hàm số như vậy nào? bọn họ cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.


I. Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định lý 1: trường hợp hàm số y = f(x) luôn đồng biến đổi (hoặc luôn nghịch biến) và tiếp tục trên D thì số nghiệm của phương trình bên trên D: f(x) = k không nhiều hơn thế nữa một và f(x) = f(y) khi còn chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.

* lưu giữ ý: từ định lý trên, ta hoàn toàn có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

¤ Bài toán yêu mong giải PT: F(x) = 0. Ta triển khai các phép đổi khác tương đương gửi PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn luôn đồng thay đổi (hoặc luôn nghịch biến):

- giả dụ là PT: f(x) = k thì ta tìm kiếm một nghiệm rồi chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất.

- trường hợp là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm kiếm được nghiệm

¤ Định lý này cũng rất được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.

2. Định lý 2: ví như hàm số y = f(x) luôn đồng biến đổi (hoặc luôn luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch trở thành (hoặc luôn đồng biến) và tiếp tục trên D thì số nghiệm bên trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn thế nữa 1.

* lưu ý: Khi chạm mặt phương trình F(x) = 0 và ta tất cả thể biến hóa về dạng f(x) = g(x) trong những số ấy f(x) và g(x) khác tính đối kháng điệu. Khi ấy ta kiếm tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.

3. Định lý 3: ví như hàm số y = f(x) luôn luôn đồng biến đổi (hoặc luôn luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) trường hợp x > y (hoặc x II. Ứng dụng tính đối kháng điệu của hàm số nhằm giải phương trình, bất phương trình.

1. Ứng dụng hàm số giải phương trình

* lấy ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a)x2019 + x = 2

b)

*

° Lời giải:

a) Đặt f(x) = x2019 + x ⇒ f"(x) = 2019x2018 + 1 > 0.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- ngoài ra f(1) = 12019 + 1 = 2 yêu cầu theo định lý 1 và 3: x = một là nghiệm tuyệt nhất của phương trình.

* dìm xét: Với bài toán này các em thấy chưa hẳn dạng không còn xa lạ và số mũ khá to nên buộc phải nghĩ đến việc ứng dụng hàm số nhằm giải, và những em thấy vấn đề giải việc sẽ dễ ợt hơn nhiều.

b) Điều kiện x ≥ 1 với ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.

- Đặt: 

*
 với x > 1.

 

*

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- mặt khác, ta có 

*
 nên theo định lý 1 cùng 3, x = 2 là nghiệm tuyệt nhất của phương trình.

* dìm xét: - Với việc này nếu vận dụng phương thức giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và đk khá tinh vi và gây trở ngại hơn việc áp dụng tính đối kháng điệu của hàm số.

- Khi dự kiến nghiệm thì thường xuyên thử với ±2; ±1; ±1/2 và 0. Đối cùng với hàm gồm căn thức thì quý giá của x sao cho các biểu thức dưới căn nhận quý hiếm là số thiết yếu phương (số khai căn ra được những số nguyên).

* lấy ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

*

*

*

° Lời giải:

a) TXĐ: 

*

- Đặt 

*
, ta tất cả f(x) là hàm tiếp tục trên D.

Xem thêm: Review Sách Ngày Xửa Ngày Xưa Có Một Con Bò ”, Ngày Xưa Có Một Con Bò

 

*
 
*
 nên hàm số f(x) luôn luôn đồng biến.

- mặt khác, ta thấy f(1) = 4 cần theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.

(Vì trường hợp x > 1 ⇒ f(x) > f(1) = 4 bắt buộc pt vô nghiệm; hay trường hợp x

⇒ f(x) là hàm đồng đổi mới trên D

- khía cạnh khác, ta thấy f(1) = 3 đề nghị x = 1 là nghiệm nhất của phương trình đang cho.

c) TXĐ: 

*

- Ta có: 

*
 

 

*

 Xét 

*

 

*
, cần hàm số đồng thay đổi trên D.

- mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = một là nghiệm độc nhất của phương trình.

* nhận xét: Với việc trên thì vấn đề vận dụng phương thức giải phương trình căn thức, các phép chuyển đổi tương đương hay đặt ẩn phụ hầu như khá cạnh tranh và phức hợp hơn rất nhiều việc thực hiện tính solo điệu của hàm số.

* lấy ví dụ như 3: Giải những phương trình sau:

*

*

° Lời giải:

a) Đối với bài toán cách giải đang không trọn vẹn giống những bài toán làm việc ví dụ 1 và 2. Ta để ý thấy biểu thức dưới lốt căn ở nhị vế có chung 1 mối liên hệ, sinh hoạt vế trái là: x + 2 = (x + 1) + 1 và vế bắt buộc là 2x2 + 1 = (2x2) + 1, vì thế nếu đặt 

*
 thì phương trình đã cho trở thành:

 

*

Xét 

*
 là một hàm thường xuyên và 
*

⇒ f(t) là hàm đồng biến. đề nghị theo định lý 2 ta có:

 

*

- Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.

b) Điều kiện: 

*
 đúng ∀x.

- Để ý những biểu thức gia nhập trong phương trình ta thấy:

 (2x2 + 4x + 5) - (x2 + x + 3) = x2 + 3x + 2. đề nghị ta tất cả phương trình ban đầu trở thành:

 

*
 
*

 

*
 
*
 (*)

- Đặt u = x2 + x + 3; v = 2x2 + 4x + 5 (u, v >0) thì ta có:

 

*

 Xét hàm 

*

⇒ f(t) là hàm đồng biến.

- phương diện khác, trường đoản cú (*) ta có: 

*

 

*
 
*

- Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = -1;-2.

* lấy ví dụ như 4: Giải các phương trình sau

a) 3x + 4x = 5x

b) 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0

° Lời giải:

a) 3x + 4x = 5x (1)

- phân tách 2 vế của pt (1) mang đến 5x ta được:

 

*

- Xét hàm: 

*
là hàm nghịch vươn lên là (vì đây là hàm mũ với cơ số dương và nhỏ hơn 1 đề xuất là hàm nghịch biến, hoặc hoàn toàn có thể tính f"(x) đang thấy hàm nghịch biến).

- khía cạnh khác, ta tất cả f(2) = 1 phải x = 2 là nghiệm duy nhất.

* nhận xét: Với câu hỏi này rất cực nhọc để ta áp dụng các phương thức giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số nhằm giải sẽ thuận tiện hơn.

b) 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0

- Đặt t = 3x > 0 phương trình trở thành

 

*

- Đối chiếu điều kiện t = -1 x = 5 - 2x ⇔ 3x + 2x - 5 = 0

Xét f(x) = 3x + 2x - 5 ⇒ f"(x) = 3x.ln3 + 2 > 0, ∀x.

⇒ f(x) là hàm đồng biến

- phương diện khác, f(1) = 0 đề nghị x = 1 là nghiệm tốt nhất của phương trình.

2. Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

* lấy ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a)

*

b)

*

c)

*

° Lời giải:

a) TXĐ:

*
 ta có:

 

*

b) Điều kiện: x>0

- Đặt log7x = t ⇔ x = 7t bất phương trình đã đến trở thành:

 

*

*

Do f(t) là hàm nghịch biến hóa trên R, còn mặt khác f(2) = 1 đề nghị BPT f(t) 2 tuyệt log7x > 2 ⇔ x > 49.

Xem thêm: 20 Bức Tranh Vẽ Đề Tài An Toàn Giao Thông Của Họa Sĩ, Học Sinh Đẹp Nhất

c) TXĐ:

*

- Bất phương trình tương đương:

 

*

*

- Xét hàm: 

*

⇒ f(t) là hàm đồng trở nên trên khoảng tầm <1;3>

 Khi đó BPT đã cho tương đương với f(x - 1) > f(3 - x) ⇔ x - 1 > 3 - x ⇔ x>2

- Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.