CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỌN LỌC, CÓ ĐÁP ÁN

     

Phương trình lôgarit là phương trình bao gồm chứa ẩn số vào biểu thức dưới vệt lôgarit.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập phương trình logarit chọn lọc, có đáp án

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Công việc giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

* cách 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* cách 2. Thực hiện định nghĩa và các đặc điểm của lôgarit để mang các lôgarit xuất hiện trong phương trình về thuộc cơ số.

* bước 3.Biến thay đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết phương pháp giải.

* bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính những giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa


Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này tìm kiếm t, từ đó tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải những phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• cách 2: Tìm đk của t (nếu có).

• cách 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết phương pháp giải.

•Bước 4: cố vào (*) nhằm tìm x.

Một số chú ý quan trọng khi đổi mới đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: áp dụng tính đối chọi điệu để giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình gồm dạng f(x) = g(x) (*)

• bước 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường lựa chọn nghiệm lân cận 0).

• bước 2: Xét những hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần minh chứng một hàm đồng biến hóa và một hàm nghịch biến chuyển hoặc một hàm 1-1 điệu với một hàm không đổi. Lúc ấy (C1) với (C2) giao nhau trên một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm độc nhất của phương trình (*).

Hoặc chuyển phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường lựa chọn nghiệm bên cạnh 0).

Xem thêm: Xi Mạ Vàng Đồng Hồ Bạn Cần Biết, Phải Làm Gì Khi Đồng Hồ Mạ Vàng Bị Phai Màu

• cách 2: Xét những hàm số y = f(x). Ta cần minh chứng f"(x) = 0 tất cả nghiệm duy nhất và f"(x) đổi vết khi trải qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có không ít nhất hai nghiệm.

Hoặc:

• bước 1: biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• cách 2: chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình tất cả một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, buộc phải f(x) đồng trở thành trên tập xác minh ;g(x)=2là hàm hằng. Phải phương trình đã cho có một nghiệm độc nhất vô nhị x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng đổi thay trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch thay đổi trên tập xác định. Buộc phải phương trình đang cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f"(t) > 0 nên hàm số đồng thay đổi trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho tất cả tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: bí quyết giải phương trình logarit đựng tham số

♦ Dạng toán tìm m nhằm phương trình bao gồm số nghiệm mang lại trước:

• cách 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

• bước 2. điều tra khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

• cách 3. Dựa vào bảng biến thiên nhằm xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• cách 4. Kết luận các giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc bao gồm k nghiệm) trên D.

♦ giữ ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá chỉ trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu thương cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định thế nào cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhì với chú ý sau.

♦ nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc thực hiện định lí hòn đảo về vệt tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm thông số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 bao gồm nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Khi đó phương trình thay đổi t2+t+m=0 (*)

Phương trình đang cho bao gồm nghiệm lúc phương trình (*) bao gồm nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Phương Pháp Làm Giảm Hao Phí Điện Năng Trong Máy Biến Áp Là, Để Máy Biến Áp

Ví dụ 2: Tìm tham số m để phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.