GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 2

     

Phương trình, bất phương trình với hệ phương trình cất căn là một trong những dạng toán phổ cập trong công tác toán lớp 9 với lớp 10. Vậy có những dạng PT cất căn nào? phương pháp giải phương trình chứa căn?… trong nội dung nội dung bài viết dưới dây, giaimaivang.vn để giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng và kiến thức về chủ đề PT đựng căn, cùng khám phá nhé!


Mục lục

1 nói lại kỹ năng và kiến thức căn bản 2 khám phá về phương trình cất căn bậc 2 2.3 phương thức giải phương trình cất căn bậc 2 lớp 9 nâng cao3 tò mò về phương trình cất căn bậc 34 tò mò về phương trình cất căn bậc 45 tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức5.2 phương pháp giải bất phương trình chứa căn khó 6 mày mò về hệ phương trình cất căn khó6.2 Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 đựng căn

Nhắc lại kiến thức và kỹ năng căn bản 

Để xử lý được những bài toán phương trình cất căn thì đầu tiên chúng ta phải nắm rõ được các kiến thức về căn thức tương tự như các hằng đẳng thức quan tiền trọng.

Bạn đang xem: Giải phương trình chứa căn bậc 2


Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số (a) ko âm là số (x) sao để cho (x^2=a)

Như vậy, từng số dương (a) tất cả hai căn bậc 2 là (sqrta;-sqrta)

Tương trường đoản cú như vậy, ta bao gồm định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một vài (a) là số (x) làm thế nào để cho (x^3=a). Mỗi số (a) chỉ có duy nhất một căn bậc 3

Căn bậc 4 của một vài (a) ko âm là số (x) làm thế nào để cho (x^4=a). Từng số dương (a) bao gồm hai căn bậc 4 là (sqrt<4>a;-sqrt<4>a)

Các hằng đẳng thức quan trọng 

*

Tìm gọi về phương trình đựng căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình cất căn bậc 2 là phương trình bao gồm chứa đại lượng (sqrtf(x)). Với dạng toán này, trước khi bước đầu giải thì ta luôn phải tìm đk để biểu thức vào căn có nghĩa, có nghĩa là tìm khoảng chừng giá trị của (x) để (f(x) geq 0 ).

Phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được áp dụng để giải PT đựng căn bậc 2. Đây được coi như là cách thức đơn giản và hay sử dụng nhất, thường được dùng với các phương trình dạng: (sqrtf(x)=g(x))

Bước 1: Tìm đk của (x) để (f(x) geq 0; g(x) geq 0)Bước 2: Bình phương nhị vế, rồi rút gọnBước 3: Giải tra cứu (x) và đánh giá có vừa lòng điều kiện giỏi không.

Ví dụ :

Giải phương trình: (sqrtx^2-4x+3=3x-7)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x^2-4x+3 geq 0\ 3x-7 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-3)geq 0\3x geq 7 endmatrix ight.)

(Leftrightarrowleft{eginmatrix left<eginarrayl x geq 3\x leq 1 endarray ight.\ xgeq frac73 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq 3)

Bình phương 2 vế, ta bao gồm :

(x^2-4x+3=3x-7 Leftrightarrow x^2-7x+10=0)

 (Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl x=2\x=5 endarray ight.)

Kiểm tra đk thấy (x=5) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng (x=5)

Phương pháp giải phương trình cất căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp thực hiện bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ bản để triệu chứng minh:

Vế trái (geq) Vế đề xuất hoặc Vế trái (leq) Vế đề xuất rồi kế tiếp “ép” mang đến dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : (sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 =2sqrt2)

Cách làm cho :

Điều kiện xác minh :

(left{eginmatrix 5x-x^2-4 geq 0\ x-1 geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x-1)(x-4) leq 0\ x geq 1 endmatrix ight. Leftrightarrow 1leq x leq 4)

Áp dụng BĐT (sqrta + sqrtb leq sqrt2(a+b)), ta gồm :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5))

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 ( 5x-x^2-4=x-1 Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 )

( Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=3 endarray ight. hspace1cm (1))

Ta có : (6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2leq 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi (x=3 hspace1cm (2))

Vậy :

(sqrt5x-x^2-4 + sqrtx-1 leq sqrt2(6x-x^2-5) leq sqrt8=2sqrt2) 

Do đó, để vừa lòng phương trình đã mang đến thì ((1)(2)) yêu cầu thỏa mãn, tốt (x=3)

Phương pháp để ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với những phương trình dạng : (sqrtf(x) pm sqrtg(x) =k) ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ (left{eginmatrix a=sqrtf(x)\ b=sqrtg(x) endmatrix ight.) rồi giải hệ phương trình hai ẩn (a,b)

Ví dụ :

Giải phương trình :(sqrtx^2+5 – sqrtx^2-3 =2)

Cách giải:

Điều kiện khẳng định : (left<eginarrayl x geq sqrt3\x leq -sqrt3 endarray ight.)

Đặt (left{eginmatrix a= sqrtx^2+5\ b= sqrtx^2-3 endmatrix ight.) ta có :

(left{eginmatrix a-b =2\ a^2-b^2=8 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\ (a-b)(a+b)=8 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix a-b=2\a+b=4 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix a=3\ b=1 endmatrix ight.)

Thay vào ta kiếm được (x=1) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là (x=1)

Tìm đọc về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình đựng căn bậc 3 (sqrt<3>f(x)=g(x))

Với dạng bài xích này, ta lập phương nhị vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn tiếp đến quy về kiếm tìm nghiệm của phương trình : (g^3(x)-f(x)=0)

Ví dụ:

Giải phương trình : (sqrt<3>3x-4= x-2)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta bao gồm :

(3x-4=(x-2)^3Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0)

(Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=1\x=4 endarray ight.)

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C)

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

(A+B +3sqrt<3>AB(sqrt<3>A+sqrt<3>B)=C)

Thay (sqrt<3>A+sqrt<3>B=sqrt<3>C) vào ta được :

(sqrt<3>ABC=C-A-B (2) )

Phương trình về bên dạng (sqrt<3>f(x)=g(x)).

Xem thêm: Này Mùa Đông Ơi Xin Hãy Làm Tuyết Rơi, Lời Bài Hát Nơi Tình Yêu Bắt Đầu

Chú ý: sau thời điểm giải ra nghiệm, ta nên thử lại vào phương trình sẽ cho vì phương trình ((2)) chỉ với hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3=sqrt<3>4x-1)

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

((3x-4)+(x+3)+3sqrt<3>(3x-4)(x+3).(sqrt<3>3x-4+sqrt<3>x+3)=4x-1)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0)

(Rightarrow 3sqrt<3>(3x-4)(x+3).sqrt<3>4x-1=0 Rightarrow left<eginarrayl x=frac43\x=-3 \ x=frac14 endarray ight.)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm mọi thỏa mãn.

Vậy phương trình vẫn cho có 3 nghiệm là : (frac43; -3; frac14)

Tìm đọc về phương trình cất căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình cất căn bậc 4 thì ta buộc phải năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4)

Phương pháp giải phương trình đựng căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : (sqrt<4>x^4-4x^3+17-x+1)

Cách giải :

Điều kiện xác định :

( left{eginmatrix x^4-4x^3+17 geq 0\ x geq 1 endmatrix ight.)

Phương trình sẽ cho tương tự với :

(sqrt<4>x^4-4x^3+17=x-1 Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4)

(Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1)

(Rightarrow 6x^2-4x-16=0 Rightarrow (x-2)(3x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2\x=-frac43 endarray ight.)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là (x=1)

Tìm đọc về bất phương trình đựng căn thức

Về cơ bản, bí quyết giải bất phương trình chứa căn thức không khác bí quyết giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong những lúc trình bày họ cần chú ý về lốt của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

*

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình cất căn bậc hai bằng cách bình phương nhị vế

Các bước làm cũng như cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (x-3-sqrt5-x geq 0)

Cách giải:

Điều kiện khẳng định :

(left{eginmatrix x-3 geq 0\ 5-x geq 0 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 3\ x leq 5 endmatrix ight. Leftrightarrow 3 leq x leq 5)

Bất phương trình đang cho tương tự với :

(x-3 geq sqrt5-x Leftrightarrow x^2-6x+9 geq 5-x)

(Leftrightarrow x^2-5x+4 geq 0 Leftrightarrow (x-4)(x-1)geq 0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x geq 4\ x leq 1 endmatrix ight.)

Kết hợp đk ta được nghiệm của bất phương trình đã chỉ ra rằng (x in mathbbR | xgeq 4)

Giải bất phương trình cất căn bậc hai bằng phương pháp nhân liên hợp

Đây là phương pháp nâng cao, dùng để làm giải các bài toán bất PT đựng căn khó. Phương thức này dựa trên việc áp dụng những đẳng thức sau :

(sqrta – sqrtb =fraca-bsqrta + sqrtb)

(sqrta + sqrtb =fraca-bsqrta – sqrtb)

(sqrt<3>a – sqrt<3>b = fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

(sqrt<3>a + sqrt<3>b = fraca+bsqrt<3>a^2-sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ví dụ :

Giải bất phương trình : (sqrtx+5-sqrt2x+3 geq x^2-4)

Cách giải:

Điều kiện :

(left{eginmatrix x geq -5\ x geq -frac32 endmatrix ight. Leftrightarrow xgeq -frac32)

Ta có:

(sqrtx+5-sqrt2x+3 = frac(x+5)- (2x+3)sqrtx+5+sqrt2x+3=frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3)

(x^2-4 =(x-2)(x+2))

Vậy bất phương trình vẫn cho tương đương với :

(frac2-xsqrtx+5+sqrt2x+3geq (x-2)(x+2))

(Leftrightarrow (x-2)(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3) leq 0)

Từ ĐKXĐ tất cả (x geq frac32 Rightarrow x+2 geq frac12 >0)

Vậy đề xuất :

(x+2+frac1sqrtx+5+sqrt2x+3 geq 0)

Vậy bất phương trình sẽ cho tương tự với :

(x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2)

Kết hòa hợp Điều kiện xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

(-frac32 leq x leq 2)

*

*

*

*

Tìm hiểu về hệ phương trình cất căn khó

Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương thức thế

Đây là cách thức đơn giản và thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình đựng căn bằng phương pháp thế, ta làm theo công việc sau :

Bước 1: tìm kiếm Điều khiếu nại xác địnhBước 2: chọn một phương trình dễ dàng hơn trong số hai phương trình, biến hóa để quy về dạng: (x =f(y))Bước 3: gắng (x =f(y)) vào phương trình còn sót lại rồi giải phương trình theo ẩn (y)Bước 4: trường đoản cú (y) cố vào (x =f(y)) để tìm ra (x). Đối chiều với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix sqrtx+1=y+2\ sqrtx+2y-1=2y+1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Điều kiện xác minh :

(left{eginmatrix xgeq -1\y geq -2 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix xgeq -1 \ x geq 1-2y \ y geq -frac12 endmatrix ight.)

Từ PT (1) ta bao gồm :

(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4)

(Leftrightarrow x= y^2-4y+3 hspace1cm(*))

Thay vào PT (2) ta được :

(sqrty^2+4y+3+2y-1 = 2y+1)

(Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1)

(Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0)

(Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl y=1\ y=-frac13 endarray ight.)

Thay vảo ((*)) ta được :

(left<eginarrayl y=1 ; x= 8\ y=-frac13; x=frac19 endarray ight.)

Kết hợp điều kiện xác định thấy cả hai cặp nghiệm những thỏa mãn.

Xem thêm: Những Hành Vi Nào Dưới Đây Thể Hiện Lòng Khoan Dung ? Giải Bài Tập Giáo Dục Công Dân 7

Giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 đựng căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ phương trình bao gồm 2 ẩn (x;y) sao cho khi ta thay đổi vai trò (x;y) lẫn nhau thì hệ phương trình không nắm đổi:

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.)

Với:

(left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)= g(y;x) endmatrix ight.)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 đựng căn

Đối cùng với dạng toán này, biện pháp giải vẫn tương đương như các bước giải hệ phương trình đối xứng một số loại 1, để ý có thêm bước tìm ĐKXĐ

Bước 1: kiếm tìm Điều kiện xác địnhBước 2: Đặt (S = x + y; phường = xy) (với (S^2 geq 4P)) . Khi đó, ta đưa hệ về hệ bắt đầu chứa (S;P) .Bước 3: Giải hệ bắt đầu tìm (S;P) . Lựa chọn (S;P) vừa lòng (S^2 geq 4P)Bước 4: với (S;P) kiếm được thì (x;y) là nghiệm của phương trình: (t^2 -St +P =0) ( sử dụng định lý Vi-ét hòn đảo để giải )

Chú ý:

Một số màn biểu diễn đối xứng qua (S;P):

Nếu ((x;y)=(a;b)) là nghiệm thì ((x;y)=(b;a)) cũng chính là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải :

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình vẫn cho tương tự với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) cùng với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ bỏ PT (1) vào PT (2) ta gồm :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết thích hợp ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện).

Bài viết trên đây của giaimaivang.vn đã giúp đỡ bạn tổng hợp lý thuyết về PT đựng căn thức cũng như phương pháp giải phương trình đựng căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Mong muốn những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quy trình học tập và phân tích về chủ đề phương trình đựng căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!