CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 10

     



Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức lớp 10

*
32 trang
*
trường đạt
*
*
3679
*
2Download


Xem thêm: Niềm Hạnh Phúc Trong Lòng Em Vẫn Vẹn Nguyên, Lời Bài Hát Tình Yêu Cao Thượng

Bạn vẫn xem đôi mươi trang chủng loại của tài liệu "19 cách thức chứng minh Bất đẳng thức", để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên


Xem thêm: Xông 9 Loại Cây Có Gai Trừ Tà, Top 17 9 Loại Cây Có Gai Trừ Tà Hay Nhất 2022

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B với C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A >A + m > n > 0 với 0 0)+ ( lốt = xảy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng tỏ rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với mọi x;y;z bởi (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z dấu bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y lốt bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xảy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra lúc x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài xích toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để chứng tỏ AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng tỏ "m,n,p,q ta đều sở hữu : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi lấy ví dụ như 2: minh chứng rằng với đa số a, b, c ta luôn luôn có :Giải: Ta bao gồm : , Đúng với mọi a, b, c.Phương pháp 2 : sử dụng phép thay đổi tương đươngKiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần minh chứng tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đang được chứng minh là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 nên phải xẩy ra trường phù hợp trên có nghĩa là có đúng một trong các ba số x ,y ,z là số to hơn 1Ví dụ 5: chứng minh rằng : Giải:Ta gồm : giống như ta gồm :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta có : tương tự như : , cộng vế theo vế những bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: cần sử dụng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 mang lại a, b ,c là những số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vệt “=” xẩy ra khi a = b = c phương pháp 4:Bất đẳng thức Cô sy kiến thức: a/ Với nhì số ko âm : , ta có: . Dấu “=” xẩy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số không âm :Dấu “=” xẩy ra khi chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho biến đổi số không âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt biến đổi pt bậc 6 theo t yêu cầu ta đặt lúc đó phương trình gồm dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương đương với : .Ví dụ 2 : cho x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Kiếm tìm GTLN của phường =Giải : p = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , trường hợp a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max p. = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang lại a, b, c >0 . Minh chứng rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta gồm :Tương từ bỏ :Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR vào tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp hai BDT tựa như (2) rồi nhân cùng với nhau sẽ được Từ (1),(3) suy ra (*). Vệt “=” xẩy ra khi a = b = c tuyệt ABC là đầy đủ .Ví dụ 5:Cho . Chứng tỏ rằng: Giải: Đặt bao gồm 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn luôn có:Dấu “=” xảy ra khi tuyệt (Quy mong : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt nếu như a = 0 tuyệt b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , thế thì: khía cạnh khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lượt nữa:Ví dụ 2: đến tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm kiếm GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi bộ số có n số ko âm: rứa thì: Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với từng i = 1,2,,m thì sao cho: , hay Ví dụ 1: Cho minh chứng rằng: Giải: ta có: vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang lại 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà lấy ví dụ 3: chứng minh rằng : Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski phương pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khib)Nếu thìDấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khiVí dụ 1: cho ABC tất cả 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn nửa đường kính R = 1 cùng S là diện tích s tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không bớt tính tổng thể ta mang sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xẩy ra ABC đều. Ví dụ như 2(HS trường đoản cú giải): a/Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 cùng x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y lấy ví dụ như 3: mang lại a>b>c>0 cùng . Minh chứng rằngGiải: vị a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta tất cả ==Vậy vết bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: mang đến a,b,c,d>0 cùng abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta bao gồm Do abcd =1 đề nghị cd = (dùng )Ta bao gồm (1) khía cạnh khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: cho a-1, Z thì . Lốt ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi b) Dạng mở rộng: - đến a > -1, thì . Vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi a = 0.- đến thì . Vệt bằng xảy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : minh chứng rằng .GiảiNếu tốt thì BĐT luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có vấn đề tổng quát mắng sau đây:“Cho minh chứng rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tựa như bài trên).Ví dụ 3: cho . Chứng minh rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: việc tổng quát mắng dạng này“ mang lại n số Ta luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc điểm bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: mang lại a, b, c ,d >0 vừa lòng a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)Ví dụ 2: mang lại a,b,c>0 thỏa mãn nhu cầu . Chứng minh Giải: Ta gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế đến abc > 0 ta gồm Ví dụ 3: mang đến 0 1-a-b-c-dGiải: Ta gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab bởi a>0 , b>0 buộc phải ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì chưng c 0 ta bao gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều yêu cầu chứng minh)Ví dụ 4: mang lại 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ (1) với (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ ` ví dụ 1: mang lại a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo đặc thù của tỉ trọng thức ta gồm (1) mặt khác : (2) trường đoản cú (1) với (2) ta gồm 1 chứng minh rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vì đó: ví dụ như 2: chứng minh rằng: với n là số ng ... 1 . Ta yêu cầu chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên tắc quy nạp: ví dụ 5: mang lại , . Chứng tỏ rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta buộc phải chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được triệu chứng minhVí dụ 6: cho , . Minh chứng rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta bắt buộc chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc bệnh minhVí dụ 7: chứng minh rằng: Giải: n=2 n=k: trả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy lấy ví dụ 8: minh chứng rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: chứng minh phản tận mắt chứng kiến thức: 1) trả sử phải minh chứng bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy trả sử bất đẳng thức kia sai cùng kết phù hợp với các mang thiết nhằm suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , rất có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng tỏ là đúng 2) mang sử ta phải minh chứng luận đề “p q”Muốn chứng minh (với : giả thiết đúng, : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:Giả sử không tồn tại ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải gồm (hay đúng)Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với bao phủ định kết luận của nó . Ta hay được sử dụng 5 vẻ ngoài chứng minh phản triệu chứng sau : A - cần sử dụng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – đậy định rôi suy trái đưa thiết C – bao phủ định rồi suy trái cùng với điều đúng D – tủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – bao phủ định rồi suy ra kết luận :Ví dụ 1: Cho cha số a,b,c vừa lòng a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 minh chứng rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: trả sử a 0 thì từ bỏ abc > 0 a 0 vì thế a 0 và a 0 a(b+c) > -bc > 0 vày a 0 b + c 0 tương tự như ta tất cả b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong số bất đẳng thức sau là sai: , Giải: giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng những vế ta được (1) Theo đưa thiết ta tất cả 4(b+d) 2ac (2) từ bỏ (1) cùng (2) tuyệt (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức cùng có tối thiểu một các bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Minh chứng rằng nếu x+y+z > thì có 1 trong các ba số này lớn hơn 1 Giải :Ta bao gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () do xyz = theo đưa thiết x+y +z > đề xuất (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong bố số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số trong những dương thật vậy trường hợp cả cha số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái giả thiết) Còn trường hợp 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 bắt buộc a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều buộc phải chứng minh2) chứng tỏ rằng a) b) với tất cả số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta bao gồm điều phải chứng minh b) Vế trái hoàn toàn có thể viết H = H > 0 ta gồm đpcm c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta gồm điều nên chứng minh* Dùng biến đổi tương đương 1) mang đến x > y cùng xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta bao gồm (vì xy = 1) cho nên BĐT cần chứng minh tương đương cùng với BĐT cuối đúng đề nghị ta bao gồm điều bắt buộc chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta bao gồm BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có đpcm* sử dụng bất đẳng thức phụ1) đến a , b, c là các số thực cùng a + b +c =1 chứng tỏ rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski mang lại 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta tất cả (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) đến a,b,c là những số dương . Chứng minh rằng (1)Giải: (1) áp dụng BĐT phụ với x,y > 0. Ta gồm BĐT ở đầu cuối luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương pháp bắc mong 1) mang lại 0 0 .Cminh rằng: Giải: do a ,b ,c ,d > 0 bắt buộc ta có (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức trên ta tất cả : (đpcm) 2) đến a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác minh chứng rằng : Giải: vì a ,b ,c là số đo cha cạnh của tam giác yêu cầu ta có a,b,c > 0 cùng a 0 cùng x+y+z =1 Giải: vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại x+y ; y+z ; x+z ta bao gồm Dấu bằng xẩy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có giá trị lớn số 1 là khi x=y=z= lấy ví dụ 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang lại 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho () cùng (1,1,1)Ta có Từ (1) cùng (2) Vậy có giá trị nhỏ tuổi nhất là lúc x=y=z= ví dụ 4 : vào tam giác vuông gồm cùng cạnh huyền , tam giác vuông như thế nào có diện tích lớn độc nhất vô nhị Giải: call cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta có S = bởi vì a ko đổi nhưng mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn số 1 Vậy trong số tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn độc nhất vô nhị 2/ sử dụng Bất đẳng thức nhằm giải phương trình với hệ phương trình ví dụ 1:Giải phương trình: Giải : Ta gồm Vậy dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x = -1 lấy ví dụ như 2: Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xảy ra khi x = một mặt khác lốt (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 với y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta gồm Vì x+y+z = 1) yêu cầu Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy có nghiệm x = y = z = ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) giỏi Từ phương trình (2) giả dụ x = thì y = 2 trường hợp x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình bao gồm nghiệm với 3/ dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên ví dụ 1: Tìm những số nguyên x,y,z vừa ý Giải:Vì x,y,z là các số nguyên đề xuất (*) Mà các số x,y,z bắt buộc tìm là ví dụ 2: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính tổng thể ta giả sử Ta bao gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1. Cầm cố z = 1 vào phương trình ta được Theo giả sử xy đề xuất 1 = mà lại y nguyên dương phải y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 ko thích phù hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một trong nghiệm của phương trình Hoán vị những số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên chấp nhận phương trình (*) Giải: (*) với x 0 , y > 0 Ta tất cả Đặt (k nguyên dương bởi x nguyên dương ) Ta tất cả Nhưng mà giữa k cùng k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một vài nguyên dương nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào hợp ý phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm tốt nhất là : bài xích tập kiến nghị :Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 : HD : chuyển vế quy đồng mẫu đem đến tổng bình phương các đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài 3: mang lại a, b. C > 0 và a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài 4 : mang đến . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi đến , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: mang đến a, b >1. Kiếm tìm GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho và xét ngôi trường hợp vệt “=” xẩy ra .Bài 9 : tra cứu GTLN với GTNN của y = HD: Đặt x= bài 10: đến 36xCmr : HD: Đặt : bài bác 11: Cmr : HD : Đặt x = bài bác 12: đến . Minh chứng rằng: bài xích 13: đến ABC bao gồm a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng minh rằng: bài bác 14: mang đến . Minh chứng rằng bài xích 15: . Minh chứng rằng: bài xích 16: có tồn lý do cho: ?Bài 17: cho ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB rước lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng tỏ rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít nhất 1 diện tích bé dại hơn hay bởi 1(đơn vị diện tích)