CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

     

A. Bắt tắt lí thuyết

1. Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số fxác định trên tập hợpD (D⊂ℝ)vàxo∈D

a)xođược gọi là mộtđiểm cực đạicủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

*

Khi đó f(xo)được gọi làgiá trị cực đạicủa hàm số f.

Bạn đang xem: Các bài toán về cực trị

b)xođược gọi là mộtđiểm cực tiểucủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

*

Khi đó f(xo)được gọi là giá chỉ trị cực tiểu của hàm số f.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung làcực trị

Nếuxolà một điểm cực trị của hàm sốfthì người ta nói rằng hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo.

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm vào của tập hợpD (D⊂ℝ)

Nhấn mạnh:xo∈(a; b)⊂Dnghĩa làxolà một điểm vào của D

*

Chú ý

Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo)nói tầm thường không phải là GTLN (GTNN) của f bên trên tập hợpD.Hàm số tất cả thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm bên trên tâp hợpD. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.xolà một điểm cực trị của hàm số fthì điểm(xo;f(xo))được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo. Lúc đó , nếufcó đạo hàm tại điểmxothìf ‘(xo) = 0

Chú ý:

Đạo hàmf ‘có thể bằng 0 tại điểmxonhưng hàm sốfkhông đạt cực trị tại điểmxo.Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàmHàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.Hàm số đạt cực trị tạixovà nếu đồ thị hàm số bao gồm tiếp tuyến tại điểm(xo;f(xo))thì tiếp tuyến đó tuy nhiên song với trục hoành

Ví dụ : Hàm sốy = |x|và hàm sốy = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm sốf liên tục trên khoảng(a; b)chứa điểmxovà gồm đạo hàm trên các khoảng(a;xo)và(xo; b). Khi đó:

*

Định lý 3: Giả sử hàm sốfcó đạo hàm cấp một trên khoảng(a; b)chứa điểmxo; f‘(xo) = 0vàfcó đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmxo

a) Nếuf”(xo) o

b) Nếuf”(xo) o

Chú ý:

Không cần xét hàm sốfcó hay là không có đạo hàm tại điểmx = xonhưng ko thể bỏ qua điều kiệnhàm số liên tục tại điểmxo

B. Bài tập tra cứu cực trị của hàm số


Dạng 1: tìm kiếm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc search cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y". Tìm các điểm tại đó y" bằng 0 hoặc y" ko xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Kiếm tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) và cam kết hiệu xi(i = 1; 2; 3... Là các nghiệm).

Bước 3. Tính f""(x) với f""(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f""(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x3– 3x2+ 2. Khẳng định làm sao sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 cùng đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 với đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 cùng cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 cùng cực tiểu tại x = -2.

Lời giải

Ta có: y" = 3x2- 6x = 0

*

Và y"" = 6x - 6

Suy ra: y""(0) = -6 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Dạng 2: tra cứu tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

Xem thêm: Ái Lực Electron Là Gì ? Nghĩa Của Từ Ái Lực Trong Tiếng Việt

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm kiếm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: bởi hàm số đã mang đến đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

*

Giải hệ phương trình ta tra cứu được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y""(x0) 0; y0) thì y""(x0) > 0

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả những giá trị của tham số m để hàm số y = x3– mx2+ (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. M = 3

B. M > 3

C. M ≤ 3

D. M Lời giải:

* Ta tất cả đạo hàm: y" = 3x2– 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

*

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d

Đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c; Δ"= b2– 3ac

Xét phương trình: 3ax2+ 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không tồn tại cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không tồn tại cực trị lúc b2– 3ac ≤ 0

Phương trình (1) tất cả hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 gồm 2 cực trị lúc b2– 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4+ bx2+ c gồm đồ thị là (C)

Đạo hàm y" = 4ax3+ 2bx. Xét phương trình y" = 0

Hay 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b) = 0

*

Để đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực trị khi và chỉ lúc phương trình y" = 0 tất cả nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

*

Để đồ thị hàm số đã cho bao gồm 3 điểm cực trị khi cùng chỉ lúc phương trình (1) tất cả 2 nghiệm phân biệt không giống 0 hay

*

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = (m - 1)x3– 3x2– (m + 1)x + 3m2– m + 2. Để hàm số bao gồm cực đại, cực tiểu xác định m?

A. M = 1

B. M ≠ 1

C. M > 1

D. M tùy ý.

Lời giải:

* phương pháp 1:

Ta có đạo hàm y" = 3(m - 1)x2- 6x - m - 1

Để hàm số đã cho tất cả cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y" = 0 gồm hai nghiệm phân biệt :

*

* cách 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc bố có cực đại, cực tiểu

Hàm số tất cả cực đại, cực tiểu khi

*

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4: bài toán tương quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d.

Ta có đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c

Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm nhì điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số gồm 2 điểm cực trị lúc phương trình y" = 0 bao gồm hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y"(x) + r(x) vào đó r(x) là phần dư của phép phân chia y cho y".

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua nhì điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: bởi x1, x2là điểm cực trị cần y"(x1) = 0; y"(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ tra cứu điều kiện để hàm số tất cả cực trị.

+ đối chiếu hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4+ bx2+ c gồm đồ thị là (C).

Xem thêm: 8 Trung Tâm Tiếng Anh Tốt Nhất Quận Tân Phú, Tphcm, Tiếng Anh Trẻ Em Hàng Đầu Việt Nam

Ta có y" = 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b)

*

Đồ thị hàm số (C) có tía điểm cực trị khi y" = 0 có 3 nghiệm phân biệt⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

*

Độ dài các đoạn thẳng:

*

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT

Dữ kiện

Công thức thỏa ab 3= 0

2Tam giác ABC đều24a + b3= 0
3Tam giác ABC tất cả góc∠BAC = α
*
4Tam giác ABC tất cả diện tích SΔABC= S032a3(S0)2+ b5= 0
5Tam giác ABC có diện tích max (S0)
*
6Tam giác ABC có nửa đường kính đường tròn nội tiếp rΔABC= r0
*
7Tam giác ABC bao gồm độ dài cạnh BC = m0a.m02+ 2b = 0
8Tam giác ABC bao gồm độ dài AB = AC = n016a2n02- b4+ 8ab = 0
9Tam giác ABC tất cả cực trị B, C∈ Oxb2– 4ac = 0
10Tam giác ABC bao gồm 3 góc nhọnb(8a + b3) > 0
11Tam giá bán ABC bao gồm trọng trung khu Ob2– 6ac = 0
12Tam giác ABC gồm trực trung khu Ob3+ 8a - 4ac = 0
13Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC= R0
*
14Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoib2– 2ac = 0
15Tam giác ABC có O là trung tâm đường tròn nội tiếpb3– 8a – 4abc = 0
16Tam giác ABC gồm O là trung tâm đường tròn ngoại tiếpb3– 8a – 8abc = 0
17Tam giác ABC bao gồm cạnh BC = k.AB = k.ACb3k2- 8a(k2- 4) =0
18Trục hoành phân chia ΔABC thành nhì phần có diện tích bằng nhaub2= 4√2|ac|
19Tam giác ABC bao gồm điểm cực trị biện pháp đều trục hoànhb2– 8ac = 0
20

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

*

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x3+ 2x2+ mx + 1 bao gồm 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐCT

A. M Lời giải:

Đạo hàm y" = mx2+ 4x + m

Để hàm số tất cả 2 điểm cực trị thỏa mãn xCĐ

*

Suy ra chọn đáp án D.