BẤT ĐẲNG THỨC COSI 3 SỐ

     

Bất đẳng thức Cosi là trong số những kiến thức toán học tập phổ biến, được áp dụng để giải các dạng toán về phương trình cùng bất phương trình không giống nhau cũng như tìm giá bán trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team giaimaivang.vn Education để giúp các em làm rõ hơn những kỹ năng và kiến thức về bất đẳng thức Cosi cho 2 số, mang lại 3 số, dạng tổng quát và hệ trái với một trong những bài tập vận dụng có đáp án.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi 3 số


*

Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức truyền thống trong toán học, khởi nguồn từ bất đẳng thức giữa trung bình cùng và trung bình nhân (AM – GM). BĐT Cosi được minh chứng bởi bên toán học fan pháp Augustin – Louis Cauchy. Ko kể tên Cosi, nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cauchy xuất xắc bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean cùng Geometric Mean).

Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi có thể được màn trình diễn bằng dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng quan trọng khác nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với các số thực không âm x1, x2,…, xn ta hoàn toàn có thể biểu diễn bất đẳng thức Cosi dưới 3 dạng như sau:

eginaligned&ull extbfDạng 1: fracx_!+x_2+...+x_nnge sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 2: x_1+x_2+...+x_nge n. sqrtx_1.x_2...x_n\&ull extbfDạng 3:left(fracx_!+x_2+...+x_nn ight)^nge x_1.x_2...x_nendaligned
Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi x1 = x2 = … = xn

Với những số thực dương x1, x2,…, xn ta có:

eginaligned&ull extbfDạng 1: frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_nge fracn^2x_1+x_2+...+x_n\&ull extbfDạng 2: (x_1+x_2+...+x_n)left( frac1x_1+frac1x_2+...+frac1x_n ight) ge n^2endaligned
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi x1 = x2 = … = xn


cách tính Đạo Hàm Cos2x Và bài bác Tập áp dụng Có Đáp Án

Dạng quánh biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng biểu diễn đặc trưng khác của bất đẳng thức Côsi:


*

Hệ trái của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát và các dạng quánh biệt, ta gồm 2 hệ quả đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy mà những em đề nghị ghi nhớ bên dưới đây. Những hệ trái này thường được vận dụng nhiều trong việc tìm kiếm giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Hệ quả 1: nếu như tổng của 2 số dương không thay đổi thì tích của bọn chúng lớn nhất lúc 2 số đó bởi nhau.Hệ trái 2: nếu như tích của 2 số dương không thay đổi thì tổng của 2 số này bé dại nhất khi 2 số đó bởi nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm

Với 2 số thực không âm a cùng b, ta thấy lúc a và b đều bởi 0 thì biểu thức này luôn luôn đúng. Dịp này, ta chỉ việc chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng cùng với 2 số a, b dương.

Cách minh chứng như sau:


eginaligned&fraca+b2ge sqrtab\&Leftrightarrow a+b ge 2sqrtab\&Leftrightarrow a-2sqrtab+bge 0\&Leftrightarrow (sqrta-sqrtb)^2 ge0 ext (luôn đúng forall a,bge0)endaligned
Như vậy, ta đã minh chứng được BĐT Cosi luôn luôn đúng với 2 số thực không âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với 3 số thực không âm

Với a, b, c đều bởi 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúngVới a, b, c dương, ta chứng tỏ BĐT Cosi như sau:

eginaligned& extĐặt x=sqrt<3>a, y=sqrt<3>b, z=sqrt<3>c\&Rightarrow x,y,zge0Rightarrow x+y+zge0endaligned
Lúc này, ta trở lại dạng chứng tỏ bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương


eginaligned&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz ge0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x+y)^2-(x+y)z+z^2>-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)ge 0\&Leftrightarrow (x+y+z)<(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2>ge 0 ext (luôn đúng forall x,y,zge0)\endaligned
Khi đó, vết bằng xẩy ra khi x = y = z xuất xắc a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cùng với n số thực ko âm

Theo minh chứng bất đẳng thức Cosi cùng với 2 số dương ta được biểu thức luôn luôn đúng. Suy ra, cùng với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn đúng.


cách làm Nguyên Hàm Từng Phần Và biện pháp Giải bài xích Tập bỏ ra Tiết

Do đó, để minh chứng bất đẳng thức luôn đúng cùng với n số thì cần chứng minh nó cũng giống với 2n số. Cách chứng tỏ như sau:


x_1+x_2+...+x_nge nsqrtx_1x_2...x_n+nsqrtx_n+1x_n+2...x_2nge 2nsqrt<2n>x_n+1x_n+2...x_2n
Theo đặc điểm quy hấp thụ thì bất đẳng thức này đúng cùng với n là 1 trong những lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi đúng với n số, ta minh chứng được nó luôn đúng với n-1 số như sau:


eginaligned&x_1+x_2+...x_nge nsqrtx_1x_2...x_n\&x_n=fracsn-1 ext với s=x_1+x_2+...+x_n\&Rightarrow s ge (n-1)sqrtx_1x_2...x_n-1endaligned
BĐT Cosi cùng với 2n số và (n – 1) số luôn luôn đúng, từ kia ta hoàn toàn có thể kết luận rằng BĐT Cosi với n số thực không âm luôn luôn đúng.

Xem thêm: Ví Dụ Mối Quan Hệ Giữa Pháp Luật Và Nhà Nước Và Pháp Luật, Mối Quan Hệ Giữa Nhà Nước Và Pháp Luật

Bài tập vận dụng

Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy bệnh minh:


left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8
Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, ta có:


eginaligned&a+frac1b ge 2sqrtfracab ; b+frac1c ge 2sqrtfracbc ; c+frac1a ge 2sqrtfracca\&Leftrightarrow left(a+frac1b ight)left(b+frac1c ight)left(c+frac1a ight)ge 8sqrtfracab.sqrtfracbcsqrtfracca=8 ext (điều đề nghị chứng minh)endaligned
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: biến hóa nhân chia, thêm, giảm một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:


fracabc+fracbca+fracacbge a+b+c
Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:


eginaligned&fracabc+fracbcage 2sqrtfracabc.fracbca=2b (1)\&fracbca+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2c (2)\&fracabc+fracacbge 2sqrtfracbca.fracacb=2a (3)\&(1)+(2)+(3) Leftrightarrow2left(fracabc+fracbca+fracacb ight)ge 2(a+b+c)\&Leftrightarrowfracabc+fracbca+fracacbge a+b+c ext (điều buộc phải chứng minh)endaligned
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Học livestream trực tuyến đường Toán – Lý – Hóa – Văn cải tiến vượt bậc điểm số 2022 – 2023 tại giaimaivang.vn Education

giaimaivang.vn Education là nền tảng học tập livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn uy tín và hóa học lượng hàng đầu Việt Nam giành cho học sinh trường đoản cú lớp 8 tới trường 12. Với câu chữ chương trình đào tạo bám giáp chương trình của Bộ giáo dục đào tạo và Đào tạo, giaimaivang.vn Education để giúp đỡ các em lấy lại căn bản, cải tiến vượt bậc điểm số và nâng cao thành tích học tập tập.

Tại giaimaivang.vn, các em sẽ được huấn luyện bởi những thầy cô thuộc đứng top 1% gia sư dạy xuất sắc toàn quốc. Những thầy cô đều phải sở hữu học vị trường đoản cú Thạc Sĩ trở lên với trên 10 năm kinh nghiệm đào tạo và giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc đẹp trong giáo dục. Bằng cách thức dạy sáng tạo, ngay sát gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kỹ năng và kiến thức một cách nhanh lẹ và dễ dàng.


phương thức Giải Bất Phương Trình chứa Căn bỏ ra Tiết

giaimaivang.vn Education còn có đội ngũ nỗ lực vấn học tập tập siêng môn luôn theo sát quy trình học tập của những em, cung ứng các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với áp dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng gốc rễ công nghệ, mỗi lớp học tập của giaimaivang.vn Education luôn bảo đảm an toàn đường truyền ổn định chống giật/lag buổi tối đa với quality hình ảnh và âm thanh giỏi nhất.

Nhờ căn cơ học livestream trực con đường mô rộp lớp học offline, những em có thể tương tác thẳng với giáo viên thuận tiện như khi tham gia học tại trường.

Khi trở thành học viên trên giaimaivang.vn Education, các em còn cảm nhận các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và ngôn từ môn học được biên soạn chi tiết, tinh tướng và chỉn chu giúp những em học tập tập và ghi nhớ loài kiến thức tiện lợi hơn.

Xem thêm: Những Bức Tranh Về Chú Bộ Đội 2021, Tranh Vẽ Cháu Yêu Chú Bộ Đội 2021

giaimaivang.vn Education khẳng định đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm đến học viên. Nếu như không đạt điểm số như cam kết, giaimaivang.vn sẽ hoàn trả những em 100% học tập phí. Các em nhanh tay đăng cam kết học livestream trực con đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học tập 2022 – 2023 trên giaimaivang.vn Education ngay lúc này để thừa hưởng mức chi phí khóa học siêu ưu đãi lên đến mức 39% giảm từ 699K chỉ với 399K.