Bài tập về chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10

Các dạng bài xích tập về so sánh vectơ và phương pháp giải

Với những dạng bài tập về so sánh vectơ và cách giải Toán lớp 10 bao gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm có lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đối chiếu vectơ từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Bài tập về chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10

A. Lí thuyết.

- so sánh một vectơ theo nhị vectơ không cùng phương: mang lại hai vectơ

với không cùng phương. Khi đó mọi vectơ hồ hết phân tích được một cách duy duy nhất theo hai vectơ cùng , nghĩa là tất cả duy độc nhất cặp số h, k thế nào cho .

Ôn lại những quy tắc: Quy tắc ba điểm, phép tắc trừ, luật lệ hình bình hành.

Ôn lại những tính chất: đặc điểm phép cộng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trung tâm tam giác.

B. Các dạng bài.

Dạng 1: minh chứng đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: đối chiếu và biến đổi các vectơ để thay đổi vế này thành vế cơ của đẳng thức hoặc đổi khác cả nhị vế sẽ được hai vế đều bằng nhau hoặc ta cũng có thể có thể thay đổi đẳng thức véctơ cần minh chứng đó tương tự với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: cho tam giác ABC tất cả AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Minh chứng rằng :

và ( O tùy ý )

Giải:

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒

.

⇒

⇔

⇒

( điều rất cần được chứng minh)

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒

⇒

Mà D là trung điểm của AM ⇒

⇒

⇒

(điều cần phải chứng minh)

Bài 2: đến tứ giác ABCD . Call M, N theo thứ tự là trung điểm nhì đường chéo AC, BD. Chứng tỏ rằng:

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

(điều rất cần được chứng minh)

Dạng 2: phân tích một vectơ theo nhị vectơ không cùng phương.

Phương pháp giải:

Áp dung có mang về so với một vectơ theo nhì vectơ không thuộc phương, quy tắc cha điểm, nguyên tắc hình bình hành, đặc điểm trung điểm, đặc điểm trọng tâm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm những cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm của AD và EF. So với

theo nhì vectơ với .

Giải:

+) gồm FE là con đường trung bình của tam giác ABC ⇒ fe // BC.

⇒ Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC ⇒ AI là trung con đường của tam giác AFE.

⇒ I là trung điểm của FE.

⇔

⇔

Bài 2: cho tam giác ABC. Điểm M nằm ở cạnh BC sao cho

. đối chiếu vectơ theo nhì vectơ .

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

⇔

Ta có:

⇔

⇔

⇔

Dạng 3: chứng tỏ ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng sản phẩm ⇔

. Để chứng minh điều này ta áp dụng các quy tắc biến hóa vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc bố điểm, phép tắc trung điểm, phép tắc trọng tâm) hoặc xác minh hai vectơ trên trải qua tổ thích hợp trung gian.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang lại 4 điểm A, B, C, D làm thế nào để cho

. Minh chứng ba điểm B, C, D trực tiếp hàng.

Giải:

⇔

⇔

⇔

⇔

Vậy B, C, D trực tiếp hàng.

Bài 2: đến 4 điểm A, B, I, J. Biết

cùng . Minh chứng B, I, J trực tiếp hàng.

Xem thêm: Đề Thi Violympic Toán Lớp 2 Năm 2021, Đề Thi Violympic Toán Lớp 2 Vong 7

Giải:

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

⇔

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Dạng 4: chứng minh hai điểm trùng nhau.

Phương pháp giải:

Để chứng minh M với M’ trùng nhau, ta minh chứng

hoặc chứng tỏ với O tùy ý.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trung tâm của tam giác ANP trùng với trọng tâm của tam giác CMQ.

Giải:

Gọi giữa trung tâm của tam giác ANP là G. Ta có:

⇔

(do N, phường là trung điểm của BC, CD)

⇔

⇔

⇔

⇔

(do Q, M là trung điểm của AD, AB)

Vậy G vừa là trung tâm của tam giác ANP vừa là trung tâm của tam giác CMQ.

Bài 2: Biết

. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn trực tiếp AC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BD.

Giải:

Khi

thì ABCD là hình bình hành.

nhị đường chéo AC cùng BD giảm nhau trên I là chổ chính giữa hình bình hành ABCD.

Trung điểm của AC và BD trùng nhau ( cùng là I).

Dạng 5: Quỹ tích điểm.

Phương pháp giải:

Đối với việc quỹ tích, học sinh cần nhớ một vài quỹ tích cơ bản sau:

Nếu

cùng với A, B cho trước thì M thuộc con đường trung trực của đoạn AB.

Nếu

với A, B, C đến trước thì M thuộc mặt đường tròn trung khu C, nửa đường kính bằng k. .

Nếu

thì M thuộc con đường thẳng qua A song song cùng với BC giả dụ ; M ở trong nửa đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC và cùng hướng với nếu k > 0; M ở trong nửa con đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với nếu k

Ví dụ minh họa:

Bài 1: đến tam giác ABC, M là vấn đề tùy ý trong khía cạnh phẳng. Kiếm tìm tập hợp phần nhiều điểm M thỏa mãn:

.

Giải:

Ta có:

⇔

⇔

⇔

(1)

Chọn điểm I thế nào cho

⇒

⇒

(1) ⇔

⇔

Vậy tập hợp những điểm M là mặt đường tròn trung khu I nửa đường kính R =

BC. .

Bài 2: cho tam giác ABC. Biết

. Tra cứu tập phù hợp điểm M thỏa mãn nhu cầu điều kiện trên.

Giải:

Gọi G là giữa trung tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.

Ta có:

⇔

⇔

Vậy tập hòa hợp điểm M là con đường trung trực của đoạn thẳng GD.

C. Bài tập từ bỏ luyện.

Bài 1: đến 4 điểm A, B, C, D. điện thoại tư vấn I, J theo thứ tự là trung điểm AB cùng CD. Minh chứng rằng:

Đáp án:

Bài 2: mang đến tam giác ABC. Call điểm M nằm trên BC làm thế nào để cho MB = 2MC. Triệu chứng minh:

Đáp án:

⇔ ⇔ ⇔

Bài 3: cho hình thang OABC, M, N theo thứ tự là trung điểm của OB và OC. Chứng tỏ rằng

.

Đáp án:

(luôn đúng)

Bài 4: mang đến AK và BM là trung tuyến đường của tam giác ABC. Phân tích vectơ

theo hai vectơ và .

Đáp án:

Bài 5: mang đến tam giác ABC có trung tâm G. Gọi I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ

theo và .

Đáp án:

Bài 6: mang đến tam giác ABC gồm AM là trung tuyến. Hotline I là trung điểm của AM với K là một trong điểm bên trên cạnh AC làm sao cho AK =

AC . Chứng minh ba điểm B, I, K trực tiếp hàng.

Đáp án:

;

⇒

⇒ B, K, I trực tiếp hàng.

Bài 7: đến tam giác ABC. Mang điểm J làm thế nào cho

. Biết M, N là trung điểm của AB, BC. Chứng tỏ M, N, J thẳng hàng.

Đáp án:

⇒ ⇒ ⇒ M, N, J trực tiếp hàng.

Xem thêm: Đề Thi Thử Lần 2- Trường Chuyên Đhsp Hà Nội 2017, Đề Thi Thử Lần 2

Bài 8: đến lục giác ABCDEF. điện thoại tư vấn M, N, P, Q, R, S theo lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh trọng trung ương tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.

Đáp án:

⇒ G vừa là giữa trung tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9: mang lại tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là vấn đề đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.

Đáp án:

Gọi G, G’ theo thứ tự là giữa trung tâm của tam giác ABC với tam giác A’B’C’.

⇒ ⇒

Vậy điểm G với G’ trùng nhau.

Bài 10: mang đến tam giác ABC. Biết

. Tra cứu tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Đáp án: Tập vừa lòng điểm M là mặt đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

Bài 11: đến tứ giác ABCD cùng với k là số tùy ý nằm trong đoạn <0;1>, lấy những điểm M, N thế nào cho

và . Kiếm tìm tập phù hợp trung điểm I của MN lúc k nắm đổi.