BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ LỚP 11

     

Giới hạn hàm số tốt thường gọi là số lượng giới hạn của hàm số – Là kiến thức đặc biệt của toán 11 thuộc bậc THPT. Để học tốt phần này các bạn cần hiểu rõ lý thuyết, biết cách áp dụng linh hoạt các dạng vào giải bài xích tập.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11


1. Lý thuyết giới hạn hàm số

1.1 số lượng giới hạn của hàm số trên một điểm

Định nghĩa 1. (Giới hạn hữu hạn): đưa sử (a; b) là một trong những khoảng chứa điểm x0 với y = f (x) là một trong những hàm số xác định trên một khoảng (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại một điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L khi x dần cho x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với tất cả dãy số (xn) trong tập đúng theo (a; b) x0 mà lại lim xn = x0 ta đều có lim f (xn) = L lúc ấy ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ = L hoặc f (x) → L lúc x → x0

Từ định nghĩa, ta có các kết quả:

$mathop lim limits_x o x_0 c$ = c, với c là hằng số.Nếu hàm số f (x) xác minh tại điểm x0 thì $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Định nghĩa 2. (Giới hạn vô cực): mang sử (a; b) là 1 khoảng đựng điểm x0 cùng y = f (x) là 1 hàm số khẳng định trên một khoảng (a; b), hoàn toàn có thể trừ tại 1 điểm x0. Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là vô cực khi x dần cho x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập vừa lòng (a; b) x0 cơ mà lim xn = x0


ta đều phải có limf(xn)= ±∞

Khi kia ta viết: $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = ± ∞ hoặc f (x) → ±∞ lúc x → x0

1.2 số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3. Trả sử hàm số y = f (x) xác định trên khoảng chừng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có số lượng giới hạn là số thực L lúc x dần cho +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hòa hợp (a; +∞) cơ mà lim xn = +∞

ta đều có lim f (xn) = L

*


1.3 một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

Sau đó là 3 định lý đặc biệt quan trọng về số lượng giới hạn hữu hạn hàm số

*

1.4 giới hạn một bên

Đề tìm giới hạn bên đề xuất hay giới hạn bên trái của hàm số f(x), ta phụ thuộc vào lý thuyết đặc trưng sau

*

1.5 một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Sau đây là 2 Quy tắc đặc biệt quan trọng đề tìm số lượng giới hạn vô cực bạn phải nhớ

*


1.6 các dạng vô định

*

2. Phân dạng số lượng giới hạn hàm số

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số kiếm tìm giới hạn

Sử dụng các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3.

Xem thêm: Nêu Cách Di Chuyển Của Sứa Trong Nước Như Thế Nào ? Câu Hỏi 4663

Bài tập 1. sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm các giới hạn sau: $mathop lim limits_x o + infty frac2x – 1$

Lời giải

*

Dạng 2. Minh chứng rằng $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ không tồn tại

Ta thực hiện theo quá trình sau:

*

Bài tập 2: Tìm số lượng giới hạn hàm số lượng giác sau $mathop lim limits_x o + infty left( cos x ight)$

Lời giải

Đặt f(x) = cos x. Lựa chọn hai hàng số xn với yn với:

*

Dạng 3. Những định lí về giới hạn và số lượng giới hạn cơ bản để kiếm tìm giới hạn

Cách 1: Đưa hàm số bắt buộc tìm giới hạn về dạng tổng, hiệu, tích, thương của không ít hàm số nhưng ta vẫn biết giới hạn.

Xem thêm: Tổng Hợp Các Hệ Thống Đánh Lửa Trên Ô Tô, Tổng Quan Chung Về Hệ Thống Đánh Lửa Trên Ô Tô

Ta có kết quả sau:

*

Cách 2: Sử dụng nguyên tắc kẹp giữa, rõ ràng Giả sử cần tính giới hạn hàm số $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ hoặc $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight)$

ta thực hiện quá trình sau:

*

Bài tập 3: Tính các giới hạn hàm số sau: $mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$

Lời giải

$mathop lim limits_x o 3 left( x^2 + x ight)$ = 32 + 3 = 12

Nhận xét

Với hàm số f(x) khẳng định tại điểm x0 thì giới hạn của nó lúc x → x0 có mức giá trị f(x)Với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ bao gồm f(x0) ≠ 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn của nó khi x → x0 có giá trị bởi ∞.Trong trường phù hợp với hàm số $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ gồm f(x0) = 0 (tức gồm dạng $frac00$)Chúng ta yêu cầu sử dụng các phép thay đổi đại số để khử dạng $frac00$, và thường thì là làm mở ra nhân tử phổ biến (x − x0)

Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số

Sử dụng những định lí với lưu ý sau:

x → $x_0^ + $; được đọc là x → x0 với x > x0 ( khi ấy |x − x0| = x − x0 ).x → $x_0^ – $; được hiểu là x → x0 và x 0 ( lúc ấy |x − x0| = x0 − x)

Bài tập 4: Tìm những giới hạn một bên của các giới hạn sau:

a) $mathop lim limits_x o 2^ + frac 3x – 6 ightx – 2$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – frac 3x – 6 ightx – 2$

Lời giải

a) $mathop lim limits_x o 2^ + fracx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + frac3x – 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + 3 = 3$

b) $mathop lim limits_x o 2^ – fracleftx – 2 = mathop lim limits_x o 2^ – frac – 3x + 6x – 2 = mathop lim limits_x o 2^ + left( – 3 ight) = – 3$

Nhận xét: Vậy, nếu như hàm số f(x) không khẳng định tại điểm x0 thì giới hạn một bên của nó không khác so với số lượng giới hạn tại x0

Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép

*

Bài tập 5. Mang lại hàm số

*

Tính $mathop lim limits_x o 0^ – fleft( x ight)$ cùng $mathop lim limits_x o 0^ + fleft( x ight)$

Lời giải

*

Dạng 6. Một vài ba qui tắc tính số lượng giới hạn vô cực

Dạng 7. Dạng $frac00$

Bản hóa học của việc khử dạng không xác minh $frac00$ là làm xuất hiện nhân tử bình thường để:

Hoặc là khử nhân tử chung để lấy về dạng xác địnhHoặc là chuyển đổi về dạng giới hạn cơ bản, rất gần gũi đã biết hiệu quả hoặc biết cách giả

*

Dạng 8. Giới hạn dạng 1∞, 0.∞, ∞0

a) Đối với dạng 0.∞ và ∞0 ta lựa chọn một trong hai biện pháp sau

Cách 1: thực hiện phương pháp chuyển đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản

Cách 2: sử dụng nguyên lí kẹp thân với các bước

*

b) Đối cùng với dạng 1∞ đề xuất nhớ những giới hạn cơ phiên bản sau $mathop lim limits_x o 0 left( 1 + x ight)^frac1x = e$, $mathop lim limits_x o infty left( 1 + frac1x ight)^x = e$

Trên đây là bài viết chia sẻ bí quyết tìm giới hạn hàm số và các dạng bài bác tập thường gặp. Bài xích tới ta đã học về hàm số liên tục, mới bạn đón xem.

Mọi thắc mắc bạn phấn kích để lại bình luận bên dưới để Toán học tập giải đáp chi tiết hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả