BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC COSI LỚP 10

     

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

Bạn đang xem: Bài tập bất đẳng thức cosi lớp 10

1. Định nghĩa :

Cho

*
là hai số thực. Các mệnh đề
*
là mệnh đề chứ đổi thay thì
*
B""" />là mệnh đề đựng biến. Chứng tỏ bất đẳng thức
*
B" />(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề đựng biến
*
B""" />đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Lúc nói ta gồm bất đẳng thức
*
B" />mà không nêu điều kiện đối với các phát triển thành thì ta hiểu rõ rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.

2. Tính chất :

*

*
b" />và
*
cRightarrow a>c" />

*

*
bLeftrightarrow a+c>b+c" />

*

*
b" />và
*
dRightarrow a+c>b+d" />

* Nếu

*
0" />thì
*
bLeftrightarrow ac>bc" />

Nếu

*
bge 0Rightarrow sqrta>sqrtb" />

*

*

*

*
bge 0Rightarrow a^n>b^n" />

3. Bất đẳng thức về cực hiếm tuyệt đối.

*

*
với đông đảo số thực
*
.

*

*
0" />).

4. Bất đẳng thức giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với nhị số không âm

Cho

*
, ta có
*
. Dấu ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi
*
.

Hệ quả:

* nhì số dương gồm tổng không đổi thì tích lớn nhất lúc hai số đó bởi nhau

* hai số dương gồm tích không đổi thì tổng nhỏ tuổi nhất khi nhì số đó bằng nhau

b) Đối với tía số ko âm

Cho

*
, ta có
*
abc" />. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.

1. Cách thức giải.

Để chứng tỏ bất đẳng thức(BĐT)

*
ta rất có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi triệu chứng minh

*
. Để chứng tỏ nó ta thường xuyên sử dụng các hằng đẳng thức nhằm phân tích
*
thành tổng hoặc tích của không ít biểu thức không âm.

Xuất phạt từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT buộc phải chứng minh.

2.Các ví dụ minh họa.

Loại 1:Biến đổi tương tự về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1:Cho nhì số thực

*
. Minh chứng rằng những bất đẳng thức sau

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

Lời giải:

a) Ta có

*
. Đẳng thức
*
.

b) Bất đẳng thức tương tự với

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

c) BĐT tương đương

*

*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

d) BĐT tương đương

*

*
*
(đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra

*

Nhận xét:Các BĐT trên được vận dụng nhiều, với được xem như là “bổ đề” trong minh chứng các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:Cho năm số thực

*
. Chứng minh rằng
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*

*
đpcm.

Xem thêm: {Gợi Ý} Làm Gì Khi Chàng Không Liên Lạc ? Cách Giải Quyết Đúng

Đẳng thức xảy ra

*
.

Loại 2:Xuất phát xuất phát từ 1 BĐT đúng ta thay đổi đến BĐT đề nghị chứng minh

Đối với nhiều loại này thường xuyên cho giải mã không được thoải mái và tự nhiên và ta thường sử dụng khi những biến bao gồm ràng buộc quánh biệt

* chăm chú hai mệnh đề sau hay dùng

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( a-eta ight)le 0" />
*

*
Rightarrow left( a-alpha ight)left( b-alpha ight)left( c-alpha ight)+left( eta -a ight)left( eta -b ight)left( eta -c ight)ge 0left( ** ight)" />

Ví dụ 7:Cho a,b,c là độ dài cha cạnh tam giác. Minh chứng rằng:

*
cRightarrow ac+bc>c^2" />. Tương tự

*
b^2; ext ca+cb>c^2" />cộng tía BĐT này lại với nhau ta có đpcm

Nhận xét:*Ở trong việc trên ta đã xuất phát điểm từ BĐT đúng đó là đặc điểm về độ dài bố cạnh của tam giác. Tiếp đến vì cần mở ra bình phương đề nghị ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu bắt đầu từ BĐT

*
" />. Hội chứng minh:
*

Lời giải:

Cách 1:

*
Rightarrow (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)ge 0" />

*
(*)

Ta có:

*
nên từ (*) ta suy ra

*
đpcm.

Cách 2:BĐT cần chứng tỏ tương đương với

*

*
" />
*
do đó:

*

Ta chỉ cần chứng minh

*

Thật vậy: vì

*
" />nên theo thừa nhận xét
*
ta có

*
*
*

*
*

Vậy BĐT lúc đầu được hội chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

1.Phương pháp giải.

Một số chú ý khi áp dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi vận dụng bđt côsi thì các số đề nghị là phần lớn số không âm

* BĐT côsi hay được áp dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng cùng tích

* Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là các số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường hay sử dụng

Đối với hai số:

*
.

Đối với bố số:

*

2.Các ví dụ như minh họa.

Loại 1:Vận dụng thẳng bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:Cho

*
là số dương thỏa mãn
*
. Chứng tỏ rằng

a)

*
b)
*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

*

Suy ra

*
(1)

Mặt khác ta có

*
(1)

Từ (1) và (2) suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*
.

b) Ta có

*

Áp dụng BĐT côsi ta có

*

*
*

Suy ra

*
*

Do đó

*
ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

*
.

Ví dụ 2:Cho

*
là số dương. Chứng tỏ rằng

a)

*

b)

*

c)

*
abc ight)}^3}" />

d)

*

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có:

*

Suy ra

*
ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

b) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có

*
, tương tự ta có
*

Suy ra

*

Mặt khác, vận dụng BĐT côsi cho tía số dương ta có

*

Suy ra

*
. ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi

*
.

c) Ta có

*
*

Áp dụng BĐT côsi cho cha số dương ta có

*
ab.bc.ca=3left( sqrt<3>abc ight)^2" />và
*
abc" />

Suy ra

*
*
abc ight)}^2}+3sqrt<3>abc+abc=left( 1+sqrt<3>abc ight)^3" />ĐPCM

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

*
*

Suy ra

*
*
(1)

Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có

*
*

*
*

Suy ra

*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi

*
.

Loại 2:Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.

Xem thêm: 50+ Hình Ảnh Thien Nhien Tuoi Dep, 111+ Hình Ảnh Thiên Nhiên Đẹp Sống Động Nhất

Để chứng tỏ BĐT ta hay phải đổi khác (nhân chia, thêm, giảm một biểu thức) để chế tạo ra biểu thức hoàn toàn có thể giản ước được sau khoản thời gian áp dụng BĐT côsi.Khi gặp gỡ BĐT có dạng
*
(hoặc
*
), ta hay đi bệnh minh
*
(hoặc
*
), xây dựng các BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều buộc phải chứng minh.Khi bóc và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc vào việc đảm bảo an toàn dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xẩy ra khi các biến cân nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 5:Cho

*
là số dương. Chứng minh rằng: